Лекции по высшей математике

Лекции по высшей математике

Автор(ы): Мышкис А. Д.

10.06.2008
Год изд.: 1973
Издание: 4
Описание: Аннотация отсутствует. Цитируем введение: «Эта книга написана на основе лекций, прочитанных автором на протяжении ряда лет студентам высших технических учебных заведений различных специальностей, а также студентам-физикам. Ее содержание соответствует утвержденной в 1964 г. программе общего курса высшей математики для инженерно-технических специальностей вузов. Некоторые менее существенные, по мнению автора, пункты из этой программы в книге опущены. С другой стороны, добавлен ряд вопросов, выходящих из указанной программы, но непосредственно примыкающих к ней. Для удобства читателя изложение этих вопросов напечатано мелким шрифтом; мелким шрифтом набраны также пункты, которые в указанной программе приведены как необязательные, и примеры.»
Оглавление:
Лекции по высшей математике скачать без регистрации https://book-com.ru

Предисловие [12]
Введение [15]
1. Предмет и происхождение математики [15]
2. Значение математики и математических знаний [16]
3. Абстрактность [18]
4. Характерные черты высшей математики [19]
5. Замечания о развитии математики [21]
6. Математика в Советском Союзе [22]
Глава I. Величина и функция [24]
§ 1. Величина [24]
1. Понятие величины [24]
2. Размерность величины [24]
3. Постоянные и переменные величины [25]
4. Числовая ось. Логарифмическая линейка [26]
5. Характеристики переменных величин [28]
§ 2. Приближенные значения величины [30]
6. Понятие приближенного значения [30]
7. Погрешности [30]
8. Запись приближенных чисел [31]
9. Сложение и вычитание приближенных чисел [32]
10. Умножение и деление приближенных чисел. Общие замечания [34]
§ 3. Функции и графики [36]
11. Функциональная зависимость [36]
12. Обозначения [37]
13. Способы задания функций [39]
14. Графики функций [41]
15. Область определения функции [42]
16. Характеристики поведения функции [44]
17. Алгебраическая классификация функций [47]
18. Элементарные функции [48]
19. Преобразования графиков [49]
20. Неявные функции [51]
21. Обратные функции [52]
§ 4. Обзор простейших функций [54]
22. Линейная функция [54]
23. Квадратичная функция [56]
24. Степенная функция [57]
25. Дробно-линейная функция [59]
26. Логарифмическая функция [60]
27. Показательная функция [62]
28. Гиперболические функции [62]
29. Тригонометрические функции [64]
30. Подбор эмпирической формулы [67]
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости [69]
§ 1. Координаты на плоскости [69]
1. Декартовы координаты [69]
2. Простые задачи на декартовы координаты [70]
3. Полярные координаты [71]
§ 2. Линии на плоскости [72]
4. Уравнение линии в декартовых координатах [72]
5. Уравнение линии в полярных координатах [74]
6. Параметрическое задание линий и функций [76]
7. Алгебраические линии [78]
8. Особые случаи [80]
§ 3. Алгебраические линии первых двух порядков [81]
9. Линии первого порядка [81]
10. Эллипс [83]
11. Гипербола [86]
12. Родство эллипса, гиперболы и параболы [88]
13. Общее уравнение линии второго порядка [90]
Глава III. Предел. Непрерывность [93]
§ 1. Бесконечно малые и бесконечно большие величины [93]
1. Бесконечно малые величины [93]
2. Свойства бесконечно малых [95]
3. Бесконечно большие величины [96]
§ 2. Предеды [97]
4. Определение [97]
5. Свойства пределов [99]
6. Сумма числового ряда [101]
§ 3. Сравнение бесконечно малых [104]
7. Сравнение бесконечно малых [104]
8. Свойства эквивалентных бесконечно малых [105]
9. Важные примеры [105]
10. Порядок малости [107]
11. Сравнение бесконечно больших [107]
§ 4. Непрерывные и разрывные функции [108]
12. Развернутое определение непрерывной функции [108]
13. Точки разрыва [108]
14. Свойства непрерывных функций [110]
15. Некоторые приложения [113]
Глава IV. Производные, дифференциалы, исследование изменения функции [115]
§ 1. Производная [115]
1. Примеры, приводящие к понятию производной [115]
2. Определение производной [116]
3. Геометрический смысл производной [117]
4. Основные свойства производной [119]
5. Производные основных элементарных функций [122]
6. Касательная в полярных координатах [125]
§ 2. Дифференциал [127]
7. Физические примеры [127]
8. Определение дифференциала и связь его с приращением [128]
9. Свойства дифференциала [130]
10. Применение дифференциала в приближенных вычислениях [131]
§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков [133]
11. Производные высших порядков [133]
12. Дифференциалы высших порядков [134]
§ 4. Правило Лопиталя [135]
13. Неопределенности вида [135]
14. Неопределенности вида [137]
§ 5. Формула и ряд Тейлора [138]
15. Формула Тейлора [138]
16. Ряд Тейлора [140]
§ 6. Интервалы монотонности и экстремум [142]
17. Знак производной [142]
18. Точки экстремума [143]
19. Наибольшее и наименьшее значения функции [144]
§ 7. Построение графиков [148]
20. Участки выпуклости графика и точки перегиба [148]
21. Асимптоты графика [148]
22. Общая схема исследования функции и построения ее графика [149]
Глава V. Приближенное решение конечных уравнений. Интерполяция [152]
§ 1. Приближенное решение конечных уравнений [152]
1. Введение [152]
2. Методы проб, хорд и касательных [154]
3. Метод итераций [156]
4. Формула конечных приращений [158]
5. Метод малого параметра [160]
§ 2. Интерполяция [162]
6. Интерполяционная формула Лагранжа [162]
7. Конечные разности и их связь с производными [163]
8. Интерполяционные формулы Ньютона [166]
9. Численное дифференцирование [168]
Глава VI. Определители и системы линейных алгебраических уравнений [170]
§ 1. Определители [170]
1. Определение [170]
2. Свойства [171]
3. Разложение определителя по элементам ряда [173]
§ 2. Система линейных алгебраических уравнений [175]
4. Формулы для решения [175]
5. Численное решение [177]
6. Случай (?) [178]
Глава VII. Векторы [181]
§ 1. Линейные действия над векторами [181]
1. Скалярные и векторные величины [181]
2. Сложение векторов [182]
3. Нуль-вектор и вычитание векторов [183]
4. Умножение вектора на скаляр [184]
5. Линейная комбинация векторов [185]
§ 2. Скалярное произведение векторов [187]
6. Проекция вектора на ось [187]
7. Скалярное произведение [188]
8. Свойства скалярного произведения [189]
§ 3. Декартовы координаты в пространстве [189]
9. Декартовы координаты в пространстве [189]
10. Простые задачи на декартовы координаты [190]
§ 4. Векторное произведение векторов [193]
11. Ориентация поверхности и вектор площадки [193]
12. Векторное произведение [194]
13. Свойства векторного произведения [196]
14. Истинные векторы и псевдовекторы [199]
§ 5. Произведения трех векторов [199]
15. Векторно-скалярное произведение [199]
16. Векторно-векторное произведение [200]
§ 6. Линейные пространства [201]
17. Понятие линейного пространства [201]
18. Примеры [203]
19. Размерность линейного пространства [204]
20. Понятие евклидова пространства [207]
21. Ортогональность [208]
$ 7. Векторные функции скалярного аргумента и кривизна [210]
22. Переменные векторные величины [210]
23. Векторная функция скалярного аргумента [210]
24. Понятия, связанные со второй производной [213]
25. Соприкасающаяся окружность [214]
26. Эволюта и эвольвента [216]
Глава VIII. Комплексные числа и функции [219]
§ 1. Комплексные числа [219]
1. Комплексная плоскость [219]
2. Алгебраические действия над комплексными числами [220]
3. Сопряженные комплексные числа [222]
4. Формула Эйлера [224]
5. Логарифмы комплексных чисел [226]
§ 2. Комплексные функции от вещественного аргумента [226]
6. Определение и свойства [226]
7. Применение к описанию колебаний [228]
§ 3. Понятие о функциях комплексного переменного [229]
8. Разложение многочлена на множители [229]
9. Численное решение алгебраических уравнений [231]
10. Разложение дробно-рациональной функции на простейшие рациональные дроби [234]
11. Общие замечания о функциях комплексного переменного [237]
Глава IX. Функции нескольких переменных [239]
§ 1. Функции двух переменных [239]
1. Способы задания [239]
2. Область определения [242]
3. Линейная функция [242]
4. Непрерывность и разрывы [243]
5. Неявные функции [245]
§ 2. Функции любого числа переменных [246]
6. Способы задания [246]
7. Функции трех переменных [246]
8. Общий случай [247]
9. Поле [247]
§ 3. Частные производные и дифференциалы первого порядка [248]
10. Основные определения [248]
11. Полный дифференциал [249]
12. Производная сложной функции [251]
13. Производные неявных функций [253]
§ 4. Частные производные и дифференциалы высших порядков [255]
14. Определения [255]
15. Равенство смешанных производных [256]
16. Полный дифференциал высшего порядка [257]
Глава X. Аналитическая геометрия в пространстве [258]
§ 1. Координаты в пространстве [258]
1. Различные виды координат в пространстве [258]
2. Число степеней свободы [259]
§ 2. Поверхности и линии в пространстве [262]
3. Поверхности в пространстве [262]
4. Цилиндры, конусы, поверхности вращения [262]
5. Линия в пространстве [264]
6. Параметрическое задание поверхностей в пространстве и функций [265]
§ 3. Алгебраические поверхности первых двух порядков [266]
7. Поверхности первого порядка [266]
8. Эллипсоид [269]
9. Гиперболоиды [270]
10. Параболоиды [272]
11. Обзор поверхностей второго порядка [273]
Глава XI. Матрицы и их применение [274]
§ 1. Матрицы [274]
1. Определения [274]
2. Действия над матрицами [276]
3. Обратная матрица [277]
4. Собственные векторы и собственные значения матрицы [279]
5. Ранг матрицы [280]
§ 2. Линейные отображения [282]
6. Линейное отображение и его матрица [282]
7. Преобразование матрицы отображения при замене базиса [288]
8. Матрица отображения в базисе из собственных векторов [290]
9. Замена декартова базиса [291]
10. Симметрические матрицы [293]
§ 3. Квадратичные формы [294]
11. Квадратичные формы [294]
12. Упрощение уравнений линий и поверхностей второго порядка [296]
§ 4. Нелинейные отображения [297]
13. Общие понятия [297]
14. Нелинейное отображение в малом [298]
15. Функциональная зависимость функций [300]
Глава XII. Применение частных производных [302]
§ 1. Скалярное поле [302]
1. Производная по направлению и градиент [302]
2. Поверхности уровня [304]
3. Неявные функции двух переменных [306]
4. Плоские поля [307]
5. Огибающая однопа-раметрического семейства линий [307]
§ 2. Экстремум функции нескольких переменных [308]
6. Формула Тейлора для функции нескольких переменных [309]
7. Экстремум [310]
8. Метод наименьших квадратов [313]
9. Кривизна поверхностей [315]
10 Условный экстремум [317]
11. Экстремум с ограничениями [319]
12. Численное решение систем уравнений [321]
Глава XIII. Неопределенный интеграт [323]
§ 1. Элементарные методы интегрирования [323]
1. Основные определения [323]
2. Простейшие интегралы [324]
3. Простейшие свойства неопределенного интеграла [327]
4. Интегрирование по частям [329]
5. Замена переменной [330]
§ 2. Систематическое интегрирование [333]
6. Интегрирование рациональных функций [333]
7. Линейные и дробно-линейные иррациональности [335]
8. Квадратичные иррациональности [336]
9. Дифференциальный бином [339]
10. Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических функций [339]
11. Общие замечания [341]
Глава XIV. Определенный интеграл [344]
§ 1. Определение и основные свойства [344]
1. Примеры, приводящие к понятию определенного интеграла [344]
2. Основное определение [346]
3. Связь определенного интеграла с неопределенным [349]
4. Основные свойства определенного интеграла [352]
5. Интегрирование неравенств [356]
§ 2. Применение определенного интеграла [359]
6. Две схемы применения [359]
7. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными [361]
8. Вычисление площадей плоских фигур [362]
9. Длина дуги [365]
10. Объем тела [366]
11. Площадь поверхности вращения [367]
§ 3. Численное интегрирование [369]
12. Общие замечания [369]
13. Формулы численного интегрирования [371]
§ 4. Несобственные интегралы [374]
14. Интеграл с бесконечным пределом интегрирования [374]
15. Основные свойства интегралов с бесконечным пределом интегрирования [376]
16. Несобственные интегралы иных видов [382]
17. Гамма-функция [385]
18. Бета-функция [387]
19. Главное значение расходящегося интеграла [388]
§ 5. Интегралы, зависящие от параметра [390]
20. Собственные интегралы [390]
21. Несобственные интегралы [391]
§ 6. Криволинейные интегралы [393]
22. Интеграл по длине дуги [393]
23. Интеграл по координате [395]
24. Условия независимости криволинейного интеграла по координатам от контура интегрирования [398]
§ 7. Понятие об обобщенных функциях [401]
25. Дельта-функция [401]
26. Приложение к построению функции влияния [403]
27. Другие обобщенные функции [406]
Глава XV. Дифференциальные уравнения [408]
§ 1. Общие понятия [408]
1. Примеры [408]
2. Основные определения [409]
§ 2. Уравнения первого порядка [411]
3. Геометрический смысл [411]
4. Интегрируемые типы уравнений [413]
5. Уравнение для экспоненты [416]
6. Интегрирование полного дифференциала [418]
7. Особые точки и особые решения [420]
8. Уравнения, не разрешенные относительно производной [423]
9. Метод предварительного дифференцирования [423]
§ 3. Уравнения высших порядков и системы уравнений [425]
10. Уравнения высших порядков [425]
11. Связь уравнений высшего порядка с системами уравнений первого порядка [427]
12. Геометрический смысл системы уравнений первого порядка [428]
13. Первые интегралы [430]
§ 4. Линейные уравнения общего вида [432]
14. Линейные однородные уравнения [432]
15. Неоднородные уравнения [434]
16. Краевые задачи [438]
§ 5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами [441]
17. Однородные уравнения [442]
18. Неоднородные уравнения с правыми частями специального вида [445]
19. Уравнение Эйлера [449]
20. Операторы и операторное решение уравнений [449]
§ 6. Системы линейных уравнений [452]
21.Системы линейных уравнений [452]
22. Приложение к выяснению устойчивости по Ляпунову состояния равновесия [456]
§ 7. Приближенное и численное решение уравнений [458]
23. Метод итераций [459]
24. Применение ряда Тейлора [460]
25. Применение степенных рядов с неопределенными коэффициентами [461]
26. Функции Бесселя [462]
27. Метод малого параметра [464]
28. Общие замечания о зависимости решения от параметра [466]
29. Методы улучшения невязки [468]
30. Метод упрощения [469]
31. Метод Эйлера [470]
32. Метод Рунге—Кутта [472]
33. Метод Адамса [473]
34. Метод Милна [474]
Глава XVI. Кратные интегралы [476]
§ 1. Определение и основные свойства кратных интегралов [476]
1. Примеры, приводящие к понятию кратного интеграла [476]
2. Определение кратных интегралов [477]
3. Основные свойства интегралов [478]
4. Основные методы применения кратных интегралов [480]
5. Геометрический смысл интеграла, взятого по плоской фигуре [481]
§ 2. Два типа физических величин [482]
6. Основной пример. Масса и плотность [482]
7. Величины, распределенные по пространству [483]
§ 3. Вычисление кратных интегралов в декартовых координатах [485]
8. Интеграл по прямоугольнику [485]
9. Интеграл по произвольной плоской фигуре [487]
10. Интеграл по произвольной поверхности [489]
11. Интеграл по объему [491]
§ 4. Замена переменных в кратных интегралах [492]
12. Переход к полярным координатам на плоскости [492]
13. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в пространстве [493]
14. Общие криволинейные координаты на плоскости [494]
15. Общие криволинейные координаты в пространстве [496]
16. Координаты на поверхности [497]
§ 5. Варианты кратных интегралов [499]
17. Несобственные интегралы [499]
18. Интегралы, зависящие от параметра [501]
19. Интеграл по общей мере и обобщенные функции [502]
20. Многомерные интегралы [504]
§ 6. Векторное поле [506]
21. Векторные линии [506]
22. Поток вектора через поверхность [507]
23. Дивергенция [508]
24. Выражение дивергенции в декартовых координатах [510]
25. Линейный интеграл и циркуляция [511]
26. Ротор [512]
27. Формулы Грина и Стокса [515]
28. Выражение векторных операций в криволинейной ортогональной системе координат [517]
29. Общая формула для преобразования интегралов [518]
Глава XVII. Ряды [520]
§ 1. Числовые ряды [520]
1. Ряды с положительными членами [520]
2. Ряды с членами любого знака [524]
3. Действия с рядами [525]
4. Скорость сходимости ряда [527]
5. Ряды с комплексными, векторными и матричными членами [530]
6. Кратные ряды [531]
§ 2. Общие функциональные ряды [533]
7. Уклонение функций [533]
8. Сходимость функционального ряда [534]
9. Свойства функциональных рядов [535]
§ 3. Степенные ряды [537]
10. Интервал сходимости [537]
11. Свойства степенных рядов [538]
12. Конечные действия над степенными рядами [541]
13. Степенной ряд как ряд Тейлора [544]
14. Степенные ряды с комплексными членами [545]
15. Понятие о числах Бернулли [546]
16. Применение рядов к решению разностных уравнений [547]
17. Кратные степенные ряды [548]
18. Функции от матриц [549]
19. Асимптотические разложения [551]
§ 4. Тригонометрические ряды [553]
20. Свойство ортогональности [553]
21. Ряды по ортогональным функциям [555]
22. Ряды Фурье [556]
23. Разложение периодической функции [560]
24. Пример. Функции Бесселя как коэффициенты Фурье [562]
25. Характер сходимости ряда Фурье [563]
26. Комплексная форма ряда Фурье [566]
27. Равенство Парсевэля [567]
28. Пространство Гильберта [568]
29. Ортогональность с весом [570]
30. Кратные ряды Фурье [571]
31. Приложение к уравнению колебаний конечной струны [572]
§ 5. Преобразование Фурье [574]
32. Формулы преобразования Фурье [574]
33. Свойства преобразования Фурье [576]
34. Приложение к уравнению колебаний бесконечной струны [578]
Глава XVIII. Элементы теории вероятностей [579]
§ 1. Случайные события и их вероятности [579]
1. Случайные события [579]
2. Вероятность [580]
3. Основные свойства вероятности [582]
4. Правило умножения вероятностей [584]
5. Формула полной вероятности [585]
6. Формула вероятностей гипотез [586]
7. Принцип игнорирования маловероятных событий [587]
§ 2. Случайные величины [588]
8. Определения [588]
9. Примеры дискретных случайных величин [589]
10. Примеры непрерывных случайных величин [591]
11. Системы случайных величин [592]
12. Функции от случайных аргументов [593]
§ 3. Числовые характеристики случайных величин [594]
13. Среднее значение [594]
14. Свойства среднего значения [595]
15. Дисперсия [597]
16. Корреляционная зависимость [598]
17. Характеристическая функция [599]
§ 4. Применения нормального закона [601]
18. Нормальный закон как предельный [601]
19. Доверительные оценки средних [603]
20. Обработка эмпирических данных [604]
Глава XIX. О современной вычислительной технике [607]
§ 1. Два основных типа вычислительных машин [607]
1. Моделирующие вычислительные машины [608]
2. Цифровые вычислительные машины [611]
§ 2. Понятие о программировании [613]
3. Системы счисления [613]
4. Запись чисел в машине [615]
5. Команды [618]
6. Примеры программирования [619]
7. Краткие сведения о советских электронных универсальных цифровых машинах [626]
Рекомендуемая литература [630]
Предметный указатель [632]
Указатель обозначений [640]

Формат: djvu
Размер: 12558450 байт
Язык: Русский
Скачать: открыть
14
91172″>



Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru